14341. Отрезки AM_{a}
, BM_{b}
, CM_{c}
и MM_{d}
— медианы тетраэдра ABCD
. Докажите, что
\overrightarrow{AM_{a}}+\overrightarrow{BM_{b}}+\overrightarrow{CM_{c}}+\overrightarrow{DM_{d}}=\overrightarrow{0}.
Решение. Сложив равенства
\overrightarrow{AM_{a}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}),~\overrightarrow{BM_{b}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}),~
\overrightarrow{CM_{c}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}),~\overrightarrow{DM_{d}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})
(см. задачу 4505), получим требуемое.
Примечание. Следствие. Пусть M
— точка пересечения медиан AM_{a}
, BM_{b}
, CM_{c}
и MM_{d}
тетраэдра ABCD
. Тогда
\overrightarrow{MM_{a}}+\overrightarrow{MM_{b}}+\overrightarrow{MM_{c}}+\overrightarrow{MM_{d}}=\overrightarrow{0}
и
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 7110).