14342. Медианы тетраэдра ABCD
пересекаются в точке G
, а медианы тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— в точке G_{1}
. Докажите, что
\overrightarrow{GG_{1}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}).
Решение. Пусть AM_{a}
, BM_{b}
, CM_{c}
и MM_{d}
— медианы тетраэдра ABCD
. Поскольку медианы тетраэдра точкой пересечения делятся в отношении 3:1
, считая от вершины тетраэдра (см. задачу 7110), то
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=-\frac{3}{4}(\overrightarrow{AM_{a}}+\overrightarrow{AM_{b}}+\overrightarrow{AM_{c}}+\overrightarrow{AM_{d}})=-\frac{3}{4}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 14341). Аналогично,
\overrightarrow{A_{1}G_{1}}+\overrightarrow{B_{1}G_{1}}+\overrightarrow{C_{1}G_{1}}+\overrightarrow{D_{1}G_{1}}=\frac{3}{4}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}
Сложив равенства
\overrightarrow{GG_{1}}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}G_{1}},~\overrightarrow{GG_{1}}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}G_{1}},
\overrightarrow{GG_{1}}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC_{1}}+\overrightarrow{C_{1}G_{1}},~\overrightarrow{GG_{1}}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DD_{1}}+\overrightarrow{D_{1}G_{1}},
получим
4\overrightarrow{GG_{1}}=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})+
+(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}})+(\overrightarrow{A_{1}G_{1}}+\overrightarrow{B_{1}G_{1}}+\overrightarrow{C_{1}G_{1}}+\overrightarrow{D_{1}G_{1}})=
=\overrightarrow{0}+(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}})+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}.
Следовательно,
\overrightarrow{GG_{1}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}).
Что и требовалось доказать.