14344. Точка M
— середина бокового ребра SC
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
. Точка N
лежит на стороне BC
основания. Плоскость \alpha
проходит через точки M
и N
параллельно боковому ребру SA
.
а) Плоскость \alpha
пересекает боковое ребро SD
в точке L
. Докажите, что BN:NC=DL:LS
.
б) Плоскость \alpha
делит пирамиду на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC=1:3
.
Ответ. 17:47
.
Решение. а) Пусть плоскость \alpha
пересекает прямую AC
в точке O
(рис. 1). Тогда отрезок MO
параллелен отрезку SA
, а так как M
— середина ребра SC
, то точка O
— середина отрезка AC
.
Пусть плоскость \alpha
пересекает ребро AD
в точке K
(рис. 2). Треугольники AKO
и CNO
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому KA=CN
и DK=BN
.
Плоскость \alpha
пересекает плоскость SAD
по прямой KL
, параллельной прямой SA
(см. задачу 8003), поэтому DL:LS=DK:KA
. Следовательно, BN:NC=DL:LC
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть плоскость \alpha
пересекает прямую CD
в точке P
. Тогда
PD:CP=PK:PN=KD:NC=BN:NC=1:3.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому \frac{S_{\triangle PDK}}{S_{\triangle PCN}}=\frac{1}{9}
. Разность площадей треугольников PCN
и PDK
равна площади четырёхугольника CDKN
, т. е. половине площади квадрата ABCD
. Значит,
S_{\triangle PDK}=\frac{1}{8}S_{CDKN}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{16}S_{ABCD},
S_{\triangle PCN}=9S_{\triangle PDK}=\frac{9}{16}S_{ABCD}.
Пусть объём пирамиды SABCD
равен V
, а её высота равна h
. Поскольку MC=MS
и DL:LS=BN:NC=1:3
, то расстояния от точек L
и M
до плоскости ABC
равны \frac{1}{4}h
и \frac{1}{2}h
соответственно. Плоскость \alpha
делит пирамиду SABCD
на два многогранника. Объём многогранника, содержащего точку C
, равен разности объёмов треугольных пирамид MPCN
и LPDK
, т. е.
\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle PCN}\cdot\frac{h}{2}-\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle PDK}\cdot\frac{h}{4}=
\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{16}S_{ABCD}\cdot\frac{h}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{16}S_{ABCD}\cdot\frac{h}{4}=\frac{17}{192}S_{ABCD}h=\frac{17}{64}\cdot\frac{1}{3}S_{ABCD}h=\frac{17}{64}V.
Тогда объём второго многогранника равен
V-\frac{17}{64}V=\frac{47}{64}V.
Следовательно, объёмы многогранников, на которые плоскость \alpha
делит пирамиду SABCD
, относятся как \frac{17}{47}
.