14357. В сферу вписан конус. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, при котором он имеет наибольшую площадь боковой поверхности.
Ответ. \arccos\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть R
— радиус сферы, r
— радиус основания конуса, l
— образующая конуса, S
— площадь боковой поверхности, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 2\alpha
. Тогда по теореме синусов
l=2R\sin(90^{\circ}-\alpha)=2R\cos\alpha,
поэтому
r=l\sin\alpha=2R\cos\alpha\sin\alpha,
S=\pi rl=\pi\cdot2R\cos\alpha\sin\alpha\cdot2R\cos\alpha=4\pi R^{2}\sin\alpha\cos^{2}\alpha.
Значит,
S^{2}=16\pi^{2}R^{4}\sin^{2}\alpha\cos^{4}\alpha=64\pi^{2}R^{4}(1-\cos^{2}\alpha)\cdot\frac{\cos^{2}\alpha}{2}\cdot\frac{\cos^{2}\alpha}{2}\leqslant
\leqslant64\pi^{2}R^{4}\left(\frac{(1-\cos^{2}\alpha)+\frac{\cos^{2}\alpha}{2}+\frac{\cos^{2}\alpha}{2}}{2}\right)^{2}=16\pi^{2}R^{4}
(см. примечание к задаче 3399), а так как S\gt0
, то S\leqslant4\pi r^{2}
, причём равенство достигается в случае, когда 1-\cos^{2}\alpha=\frac{\cos^{2}\alpha}{2}
, т. е. когда \cos^{2}\alpha=\frac{2}{3}
. Но тогда
\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=2\cdot\frac{2}{3}-1=\frac{1}{3}.
Следовательно, угол осевого сечения конуса, при котором конус имеет наибольшую площадь боковой поверхности, равен \arccos\frac{1}{3}
.