1436. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
точка D
делит сторону BC
в отношении 3:1
, считая от вершины B
, а точка E
— середина отрезка AD
. Известно, что BE=\sqrt{7}
, CE=3
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. \frac{8}{3}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов и формулой для квадрата медианы треугольника:
m^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}),
где a
, b
, c
— стороны треугольника, m
— медиана, проведённая к стороне, равной c
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\angle CAB=\alpha
. Пусть CD=x
, AC=2y
. Тогда
BD=3x,~AB=BC=4x,~\cos\alpha=\frac{y}{4x}.
По теореме косинусов
AD^{2}=CA^{2}+CD^{2}-2CA\cdot CD\cos\alpha=4y^{2}+x^{2}-2\cdot2y\cdot x\cdot\frac{y}{4x}=
=4y^{2}+x^{2}-y^{2}=3y^{2}+x^{2},
По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014)
4BE^{2}=2BD^{2}+2AB^{2}-AD^{2},~\mbox{или}
4\cdot7=2\cdot9x^{2}+2\cdot16x^{2}-(3y^{2}+x^{2}),~\mbox{или}~49x^{2}-3y^{2}=28,
4CE^{2}=2CD^{2}+2AC^{2}-AD^{2},~\mbox{или}
4\cdot9=2x^{2}+2\cdot4y^{2}-(3y^{2}+x^{2}),~\mbox{или}~x^{2}+5y^{2}=36.
Из системы
\syst{49x^{2}-3y^{2}=28\\x^{2}+5y^{2}=36\\}
находим, что x=1
, y=\sqrt{7}
. Тогда
AB=4x=4,~\cos\alpha=\frac{y}{4x}=\frac{\sqrt{7}}{4},~\sin\alpha=\frac{3}{4}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. По теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\alpha}=\frac{4}{2\cdot\frac{3}{4}}=\frac{8}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1993, № 4, вариант 1
Источник: Журнал «Математика в школе». — 1994, № 1, с. 46