14360. Докажите, что из всех параллелепипедов, вписанных в данную сферу, наибольший объём имеет куб.
Решение. Сечение параллелепипеда плоскостью любой его грани — параллелограмм, вписанный в окружность, т. е. прямоугольник. Действительно, если угол при вершине A
параллелограмма ABCD
равен \alpha
, то углы при вершинах B
и C
равны, так как каждый из них равен 180^{\circ}-\alpha
. При этом сумма этих углов равна 180^{\circ}
, значит, они (а значит, и остальные углы параллелограмма) равны 90^{\circ}
. Следовательно, параллелепипед прямоугольный.
Пусть его измерения равны a
, b
и c
, V
— его объём, а R
— радиус описанной сферы. Тогда диагональ параллелепипеда является диаметром сферы, поэтому
a^{2}+b^{2}+c^{2}=4R^{2},~V^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}.
Из неравенства
a^{2}b^{2}c^{2}\leqslant\left(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\right)^{3},
которое обращается в равенство в случае, когда a^{2}=b^{2}=c^{2}
(см. примечание к задаче 3399), следует, что при постоянной сумме a^{2}+b^{2}+c^{2}
произведение a^{2}b^{2}c^{2}
(а значит, и V=abc
) максимально, если a^{2}=b^{2}=c^{2}
, т. е. a=b=c
. Следовательно, параллелепипед — куб. Что и требовалось доказать.