14361. Всевозможные цилиндры вписаны вписаны в сферу радиуса R
. Найдите объём цилиндра, имеющего среди них наибольшую площадь боковой поверхности.
Ответ. \frac{\pi R^{3}\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Пусть r
— радиус основания цилиндра, h
— его высота, S
— площадь боковой поверхности, V
— искомый объём. Сечение цилиндра и сферы плоскостью, проходящей через центр сферы и высоту конуса, — прямоугольник ABCD
со сторонами AB=2r
, BC=h
и диагональю
2R=AC=\sqrt{4r^{2}+h^{2}}.
Тогда
S^{2}=4\pi^{2}r^{2}h^{2}=\pi^{2}(4R^{2}-h^{2})h^{2}\leqslant\pi^{2}\cdot\left(\frac{4R^{2}-h^{2})+h^{2}}{2}\right)^{2}=4\pi^{2}R^{4},
причём равенство достигается в случае, когда 4R^{2}-h^{2}=h^{2}
(см. задачу 3399), т. е. при h=R\sqrt{2}
. Тогда наибольшее значение площади боковой поверхности цилиндра равно 2\pi R^{2}
, а
r=\sqrt{\frac{4R^{2}-h^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{4R^{2}-2R^{2}}{4}}=\frac{R\sqrt{2}}{2}.
Следовательно,
V=\pi r^{2}h=\pi\cdot\frac{R^{2}}{2}\cdot R\sqrt{2}=\frac{\pi R^{3}\sqrt{2}}{2}.