14366. В сферу радиуса R
вписана правильная n
-угольная призма, имеющая максимальный объём. Найдите её высоту.
Ответ. \frac{2R}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть H
и H_{1}
— центры соответственно нижнего и верхнего оснований правильной n
-угольной призмы, O
— центр сферы, описанной около призмы, A
— одна из вершин нижнего основания, S
— площадь основания призмы, V
— её объём, а прямая HH_{1}
пересекает сферу в точках P
и Q
(H
между O
и P
). Тогда HH_{1}=h
— высота призмы, а PQ=2R
— диаметр сферы.
Точка A
лежит на сфере с диаметром PQ
, поэтому треугольник PAQ
прямоугольный, AH=r
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 2728),
r^{2}=AH^{2}=HP\cdot HQ=(OP-OH)(OQ+OH)=\left(R-\frac{h}{2}\right)\left(R+\frac{h}{2}\right).
Тогда
S=n\cdot\frac{1}{2}HA\sin\frac{360^{\circ}}{n}=\frac{1}{2}nr^{2}\sin\frac{360^{\circ}}{n}=\frac{1}{2}n\sin\frac{360^{\circ}}{n}\cdot\left(R-\frac{h}{2}\right)\left(R+\frac{h}{2}\right),
V=Sh=\frac{1}{2}n\sin\frac{360^{\circ}}{n}\cdot h\left(R-\frac{h}{2}\right)\left(R+\frac{h}{2}\right)=\frac{1}{8}n\sin\frac{360^{\circ}}{n}\cdot(4R^{2}h-h^{3}).
С помощью производной найдём наибольшее значение функции V(h)
на промежутке 0\lt h\lt2R
. Поскольку
V'(h)=\frac{1}{8}n\sin\frac{360^{\circ}}{n}\cdot(4R^{2}-3h^{2}),
единственная критическая точка функции на рассматриваемом промежутке — это h=\frac{2R}{\sqrt{3}}
. При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус. Значит, в этой точке функция V(h)
достигает своего наибольшего значения на промежутке 0\lt h\lt2R
.