14368. В сферу радиуса R
вписана правильная шестиугольная призма, имеющая наибольшую площадь боковой поверхности. Найдите эту наибольшую площадь.
Ответ. 6R^{2}
.
Решение. Пусть ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильная шестиугольная призма. Пусть сторона её основания равна a
, боковое ребро равно h
, а площадь боковой поверхности равна S
.
Диагонали AD_{1}
, BE_{1}
и CF_{1}
призмы равны и пересекаются в одной точке O
и делятся ею пополам, значит, O
— центр описанной сферы а AD_{1}
— диаметр окружности. Значит, AD_{1}=2R
. Поскольку ABCDEF
— правильный шестиугольник, то AD=2a
Из прямоугольного треугольника ADD_{1}
находим, что
h=DD_{1}=\sqrt{AD_{1}^{2}-AD^{2}}=\sqrt{4R^{2}-4a^{2}}=2\sqrt{R^{2}-a^{2}}.
Тогда
S=6S_{AA_{1}B_{1}B}=6ah=6a\cdot2\sqrt{R^{2}-h^{2}}=12a\sqrt{R^{2}-a^{2}}.
Значит (см. задачу 3399),
S^{2}=144a^{2}(R^{2}-a^{2})\leqslant144\left(\frac{a^{2}+(R^{2}-a^{2})}{2}\right)^{2}=36R^{2},
Причём равенство достигается в случае, когда a^{2}=R^{2}-a^{2}
, т. е. когда a=\frac{R}{\sqrt{2}}
. Следовательно, наибольшее значение S^{2}
(а значит, и S
, так как S\gt0
) равно 6R^{2}
.