14370. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с площадью 2, а высота призмы равна гипотенузе основания. Какими должны быть стороны основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?
Ответ. 2, 2, 2\sqrt{2}
.
Решение. Пусть катеты треугольника, лежащего в основании призмы, равны x
и y
. Тогда площадь основания равна xy=4
, гипотенуза треугольника и высота призмы равны \sqrt{x^{2}+y^{2}}
, а боковая поверхность S
призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Значит,
S=(x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2}})\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x+y)\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x^{2}+y^{2}=
=\left(x+\frac{4}{x}\right)\sqrt{x^{2}+\frac{16}{x^{2}}}+\left(x^{2}+\frac{16}{x^{2}}\right)\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}\cdot\sqrt{2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{16}{x^{2}}}}+2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{16}{x^{2}}}=
=2\cdot2\cdot\sqrt{2\cdot4}+2\cdot4=8\sqrt{2}+8
(см. задачу 3399), причём равенство достигается при x=2
(в этом случае одновременно x+\frac{4}{x}=4
и x^{2}+\frac{16}{x^{2}}=8
). Тогда второй катет равен y=\frac{4}{x}=2
, а гипотенуза равна 2\sqrt{2}
.