14371. Из гранита нужно вырубить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого должна быть равна диагонали основания, а площадь основания должна быть равна 4. При каком отношении сторон основания площадь поверхности постамента будет наименьшей?
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны x
и y
, а площадь его полной поверхности равна S
. Тогда
S=2xy+(x+y)\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geqslant8+2\sqrt{xy}\sqrt{2\sqrt{x^{2}y^{2}}}=8+2\sqrt{xy}\sqrt{2xy}=8+2\sqrt{4}\sqrt{8}=8+8\sqrt{2}
(см. задачу 3399), причём равенство достигается при x=y
(в этом случае одновременно \sqrt{xy}=2
и \sqrt{2xy}=2\sqrt{2}
). Следовательно, x:y=1:1
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1966, № 4, вариант 2
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 4, с. 37, вариант 1