14379. В правильной треугольной пирамиде SABC
плоскость, проходящая через сторону AC
основания и перпендикулярная ребру SB
, отсекает пирамиду DABC
, объём которой в полтора раза меньше объёма пирамиды SABC
. Найдите боковую поверхность пирамиды SABC
, если AC=a
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть H
— центр основания ABC
пирамиды, M
— середина ребра AC
, DP
— перпендикуляр к BM
. Тогда SH
— высота пирамиды, DP
— высота пирамиды DABC
, а SM
— апофема пирамиды.
У треугольных пирамид SABC
и DABC
общее основание ABC
, поэтому отношение их объёмов равно отношению высот, опущенных это основания. Значит, \frac{SH}{DP}=\frac{3}{2}
. Тогда прямоугольные треугольники DPB
и SHB
подобны с коэффициентом \frac{3}{5}
, а так как
HM=\frac{1}{3}BM,~BH=\frac{2}{3}BM,
то
BP=\frac{2}{3}BH=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}BM=\frac{4}{9}BM,
PM=BM-BP=BM-\frac{4}{9}BM=\frac{5}{9}BM.
Поскольку прямая SB
перпендикулярна плоскости ADC
, эта прямая перпендикулярна прямой DM
, лежащей в этой плоскости. Значит, треугольник BDM
прямоугольный, а DP
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Тогда DP^{2}=BP\cdot PM
(см. задачу 2728), или
\frac{4}{9}SH^{2}=\frac{4}{9}BM\cdot\frac{5}{9}BM,
откуда
SH^{2}=\frac{5}{9}BM^{2}=\frac{5}{9}\cdot\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{15a^{2}}{36}.
Из прямоугольного треугольника SHM
находим, что
SM=\sqrt{HM^{2}+SH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{12}+\frac{15a^{2}}{36}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Следовательно,
S_{\mbox{бок.}}=3S_{\triangle ASC}=3\cdot\frac{1}{2}AC\cdot SM=3\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{3a^{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{3a^{2}\sqrt{2}}{4}.