14387. Площадь сечения, проведённого через диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды параллельно непересекающемуся с этой диагональю боковому ребру, равна s
. Найдите площадь сечения, проходящего через середины двух смежных сторон основания и середину высоты пирамиды.
Ответ. \frac{5}{4}s
.
Решение. Пусть SABCD
— данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S
, точки M
и N
— середины рёбер AB
и AD
соответственно, G
— середина высоты SO
пирамиды, а секущая плоскость проходит через диагональ BD
основания параллельно боковому ребру SA
.
Пусть E
— середина ребра SC
. Тогда OE
— средняя линия треугольника ASC
, поэтому OE\parallel SC
. Значит, S_{\triangle BED}=s
, а секущая плоскость параллельна плоскости BED
.
Пусть T
— точка пересечения AC
и MN
, а прямая GT
пересекает боковое ребро SC
в точке F
. Тогда сечение, площадь которого нужно найти, — это пятиугольник MNLFK
.
Секущая плоскость и плоскость BSD
проходят через параллельные прямые MN
и BD
соответственно, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку G
параллельно прямым MN
и BD
(см. задачу 8004). Пусть прямая пересечения пересекает рёбра SB
и SD
в точках K
и L
соответственно. Тогда по теореме Фалеса K
и L
— середины этих рёбер. Поскольку E
— середина ребра SC
, то KE
— средняя линия треугольника BSC
.
Пусть прямые FK
и BC
пересекаются в точке P
, а прямые FL
и CD
— в точке Q
. Тогда PQ
— прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью основания пирамиды, поэтому точки M
и N
лежат на этой прямой, а сечение MNLFK
— часть треугольника PFQ
. Из равенства треугольников BMP
и AMN
получаем, что PM=MN
. Аналогично, QN=MN
, значит, PM=QN=MN
, PN=BD
и PN\parallel BD
.
Четырёхугольник BPND
параллелограмм, а так как
DN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=KE~\mbox{и}~DN\parallel BC\parallel KE,
то DNKE
— тоже параллелограмм, поэтому DE=NK
, а так как BE=PK
и PN=BD
, то треугольник PKN
равен треугольнику BED
по трём сторонам. Очевидно, треугольники PKM
и QLN
равны, а KM
— медиана треугольника PKN
. Кроме того, треугольник PFQ
подобен треугольнику PKN
с коэффициентом
\frac{PF}{PK}=\frac{PF}{BE}=\frac{CP}{BC}=\frac{3}{2}.
Следовательно,
S_{MNLFK}=S_{\triangle PFQ}-S_{\triangle PKM}-S_{\triangle QLN}=S_{\triangle PFQ}-2S_{\triangle PKM}=S_{\triangle PFQ}-S_{\triangle PKN}=
=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}S_{\triangle PKN}-S_{\triangle PKN}=\frac{9}{4}S_{\triangle PKN}-S_{\triangle PKN}=\frac{5}{4}S_{\triangle PKN}=\frac{5}{4}S_{\triangle BED}=\frac{5}{4}s.