14387. Площадь сечения, проведённого через диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды параллельно непересекающемуся с этой диагональю боковому ребру, равна
s
. Найдите площадь сечения, проходящего через середины двух смежных сторон основания и середину высоты пирамиды.
Ответ.
\frac{5}{4}s
.
Решение. Пусть
SABCD
— данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной
S
, точки
M
и
N
— середины рёбер
AB
и
AD
соответственно,
G
— середина высоты
SO
пирамиды, а секущая плоскость проходит через диагональ
BD
основания параллельно боковому ребру
SA
.
Пусть
E
— середина ребра
SC
. Тогда
OE
— средняя линия треугольника
ASC
, поэтому
OE\parallel SC
. Значит,
S_{\triangle BED}=s
, а секущая плоскость параллельна плоскости
BED
.
Пусть
T
— точка пересечения
AC
и
MN
, а прямая
GT
пересекает боковое ребро
SC
в точке
F
. Тогда сечение, площадь которого нужно найти, — это пятиугольник
MNLFK
.
Секущая плоскость и плоскость
BSD
проходят через параллельные прямые
MN
и
BD
соответственно, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку
G
параллельно прямым
MN
и
BD
(см. задачу 8004). Пусть прямая пересечения пересекает рёбра
SB
и
SD
в точках
K
и
L
соответственно. Тогда по теореме Фалеса
K
и
L
— середины этих рёбер. Поскольку
E
— середина ребра
SC
, то
KE
— средняя линия треугольника
BSC
.
Пусть прямые
FK
и
BC
пересекаются в точке
P
, а прямые
FL
и
CD
— в точке
Q
. Тогда
PQ
— прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью основания пирамиды, поэтому точки
M
и
N
лежат на этой прямой, а сечение
MNLFK
— часть треугольника
PFQ
. Из равенства треугольников
BMP
и
AMN
получаем, что
PM=MN
. Аналогично,
QN=MN
, значит,
PM=QN=MN
,
PN=BD
и
PN\parallel BD
.
Четырёхугольник
BPND
параллелограмм, а так как
DN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=KE~\mbox{и}~DN\parallel BC\parallel KE,

то
DNKE
— тоже параллелограмм, поэтому
DE=NK
, а так как
BE=PK
и
PN=BD
, то треугольник
PKN
равен треугольнику
BED
по трём сторонам. Очевидно, треугольники
PKM
и
QLN
равны, а
KM
— медиана треугольника
PKN
. Кроме того, треугольник
PFQ
подобен треугольнику
PKN
с коэффициентом
\frac{PF}{PK}=\frac{PF}{BE}=\frac{CP}{BC}=\frac{3}{2}.

Следовательно,
S_{MNLFK}=S_{\triangle PFQ}-S_{\triangle PKM}-S_{\triangle QLN}=S_{\triangle PFQ}-2S_{\triangle PKM}=S_{\triangle PFQ}-S_{\triangle PKN}=

=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}S_{\triangle PKN}-S_{\triangle PKN}=\frac{9}{4}S_{\triangle PKN}-S_{\triangle PKN}=\frac{5}{4}S_{\triangle PKN}=\frac{5}{4}S_{\triangle BED}=\frac{5}{4}s.

Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1966, № 5, вариант 4
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 5, с. 42, вариант 3