14392. Через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани. Найдите площадь получившегося сечения, если высота пирамиды равна h
, а отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания равно \sqrt{3}
.
Ответ. \frac{4h^{2}\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{4h^{2}\sqrt{6}}{27}
.
Решение. Пусть PO=h
— высота данной правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
с вершиной P
, M
и N
— середины рёбер AB
и CD
, а секущая плоскость проходит через прямую AB
и перпендикулярна плоскости CPD
.
Проведём высоту MH
равнобедренного треугольника MPN
. Прямая CD
перпендикулярна пересекающимся прямым MN
и PN
плоскости MPN
, значим прямая CD
перпендикулярна этой плоскости. Тогда CD\perp MH
. Прямая MH
перпендикулярна пересекающимся прямым PH
и CD
плоскости CPD
, значит прямая CD
перпендикулярна плоскости CPD
. Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей (см. задачу 7710) плоскость AHB
перпендикулярна плоскости CPD
.
Плоскости CPD
и AHB
проходят через параллельные прямые AB
и CD
соответственно, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной AB
и CD
. Пусть эта прямая пересекает рёбра PC
и PD
в точках K
и L
соответственно. Тогда сечение пирамиды, о котором говорится в условии, — равнобедренная трапеция ABKL
с основаниями AB
и KL
и высотой MH
.
Поскольку отношение площади основания к боковой поверхности пирамиды равно косинусу угла \beta
между плоскостью основания и плоскостью боковой грани, то \cos\beta=\frac{1}{\sqrt{3}}
. Тогда
\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},~\ctg\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Из прямоугольных треугольников PON
, MHN
и MHP
находим, что
ON=h\ctg\beta=\frac{h}{\sqrt{2}},~MH=MN\sin\beta=2ON\sin\beta=\frac{2h}{\sqrt{3}},~
PM=PN=\frac{h}{\sin\alpha}=\frac{h\sqrt{3}}{\sqrt{2}},
PH=PM\cos\angle MPH=PM\cos(180^{\circ}-2\beta)=-PM\cos2\beta=
=-PM(2\cos^{2}\beta-1)=-\frac{h\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\left(2\cdot\frac{1}{3}-1\right)=\frac{h\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}.
Треугольник KPL
подобен треугольнику CPD
с коэффициентом
k=\frac{PH}{PN}=\frac{\frac{h\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}}{\frac{h\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{3},
поэтому
KL=kCD=kBC=kMN=k\cdot2ON=k\frac{2h}{\sqrt{2}}=\frac{2h}{3\sqrt{2}}=\frac{h\sqrt{2}}{3}.
Следовательно,
S_{ABKL}=\frac{1}{2}(AB+KL)\cdot MH=\frac{1}{2}\left(h\sqrt{2}+\frac{h\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{4h^{2}\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{4h^{2}\sqrt{6}}{27}.