14397. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы с высотой a
и ребром основания 2a
проведена плоскость, отсекающая от верхнего основания треугольник, площадь которого равна трети площади верхнего основания. Найдите площадь трапеции, образовавшейся в сечении.
Ответ. a^{2}\sqrt{\frac{8+2\sqrt{3}}{3}}
.
Решение. Пусть плоскость, проведённая через ребро AB
данной правильной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, пересекает рёбра A_{1}C_{1}
и B_{1}C_{1}
в точках E
и F
соответственно. Секущая плоскость и плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}
проходят через параллельные прямые AB
и A_{1}B_{1}
соответственно и пересекаются по прямой EF
. Значит, EF\parallel A_{1}B_{1}
(см. задачу 8004).
Пусть M
и M_{1}
— середины рёбер AB
и A_{1}B_{1}
соответственно, а N
— точка пересечения C_{1}M_{1}
и EF
. Поскольку EF\parallel A_{1}C_{1}
и треугольник EFC_{1}
подобен треугольнику A_{1}B_{1}C_{1}
, то коэффициент подобия равен \sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
. Значит,
EF=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot A_{1}C_{1}=\frac{a}{\sqrt{3}},~C_{1}N=\frac{1}{\sqrt{3}}C_{1}M_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a.
Тогда
M_{1}N=C_{1}M_{1}-C_{1}N=a\sqrt{3}-a=a(\sqrt{3}-1).
Отрезок MN
— высота равнобедренной трапеции ABFE
. Из прямоугольного треугольника MM_{1}N
находим, что
MN=\sqrt{MM_{1}^{2}+M_{1}N^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}(\sqrt{3}-1)^{2}}=a\sqrt{5-2\sqrt{3}}.
Следовательно,
S_{ABFE}=\frac{1}{2}(AB+EF)\cdot MN=\frac{1}{2}\left(2a+\frac{a}{\sqrt{3}}\right)\cdot a\sqrt{5-2\sqrt{3}}=
=\frac{a^{2}}{3}(3+\sqrt{3})\sqrt{5-2\sqrt{3}}=\frac{a^{2}}{3}\sqrt{(3+\sqrt{3})^{2}(5-2\sqrt{3})}=
=\frac{a^{2}}{3}\sqrt{(12+6\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})}=\frac{a^{2}}{3}\sqrt{\frac{8+2\sqrt{3}}{3}}.