14401. Две вершины некоторого треугольника лежат на ребре двугранного угла. Известны расстояния от третьей вершины треугольника до плоскостей граней и углы наклона плоскости треугольника к плоскостям граней. Найдите отношение объёмов пирамид, имеющих основанием данный треугольник, а вершинами — точки, в которых перпендикуляры к граням, опущенные из точки пересечения медиан треугольника, пересекаются с плоскостями граней.
Ответ. \frac{a}{b}\left|\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\right|
, где a
и b
— данные расстояния, а \alpha
и \beta
— данные углы.
Решение. Пусть A
и B
— вершины треугольника ABC
, лежащие на ребре двугранного угла с гранями P
и S
, a
и b
— расстояния от вершины C
до плоскостей этих граней, \alpha
и \beta
— двугранные углы, образованные плоскостью ABC
с гранями P
и S
соответственно, M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, D
и E
— ортогональные проекции точки C
на плоскости граней P
и S
соответственно, T
и Q
— ортогональные проекции точки M
на плоскости граней P
и S
соответственно, CH
— высота треугольника ABC
. Требуется найти отношение объёмов пирамид TABC
и QABC
.
Пусть углы \alpha
и \beta
острые. Рассмотрим сечение двугранного угла с гранями P
и ABC
плоскостью пересекающихся прямых CD
и CH
. Эта плоскость перпендикулярна ребру AB
, поэтому \angle CHD
— линейный угол рассматриваемого двугранного угла. Тогда \angle CHD=\alpha
. Проведём высоту DF
прямоугольного треугольника CDH
. Поскольку \angle CDF=\angle CHD
, то
DF=CD\cos\angle CDF=a\cos\alpha.
Точка M
удалена от ребра AB
двугранного угла на расстояние, в три раза меньшее, чем точка C
, поэтому расстояние от точки M
до грани P
втрое меньше расстояния до этой грани от точки C
(см. задачу 9180), т. е. равно \frac{1}{3}b
. Тогда из рассуждений, приведённых выше, вытекает, что расстояние от точки T
до плоскости ABC
(т. е. высота пирамиды TABC
, проведённая из вершины T
), равно \frac{1}{3}a\cos\alpha
. Аналогично, высота пирамиды QABC
, проведённая из вершины Q
, равна \frac{1}{3}b\cos\beta
. Отношение пирамид с общим основанием равно отношению высот пирамид, опущенных на это основание, т. е.
\frac{V_{TABC}}{V_{QABC}}=\frac{\frac{1}{3}a\cos\alpha}{\frac{1}{3}b\cos\beta}=\frac{a\cos\alpha}{b\cos\beta}.
Если один из углов \alpha
или \beta
тупой, то его косинус отрицательный. В этом случае искомое отношение объёмов равно -\frac{a\cos\alpha}{b\cos\beta}
. Следовательно, ответ задачи —
\frac{V_{TABC}}{V_{QABC}}=\left|\frac{a\cos\alpha}{b\cos\beta}\right|=\frac{a}{b}\left|\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\right|.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1967, № 1, вариант 1