14404. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. На продолжении ребра CB
взята такая точка M
, что MB=\frac{1}{2}BC
(MC=\frac{3}{2}BC
). Через точку M
и середины рёбер AB
и SC
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?
Ответ. 1:1
.
Решение. Решим эту задачу для произвольной четырёхугольной пирамиды SABCD
, основание которой — параллелограмм ABCD
.
Пусть K
— середина ребра AB
, L
— середина ребра SC
, прямая MK
пересекает ребро AD
и продолжение ребра CD
в точках N
и P
соответственно, прямые PL
и SD
пересекаются в точке Q
, а прямые LM
и SB
— в точке R
. Тогда сечение пирамиды указанной в условии плоскостью — пятиугольник KNQLR
.
Треугольники AKN
и BKM
по стороне (AK=BK
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому
AN=BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD,
т. е. N
— середина ребра AD
. Из равенства треугольников DNP
и ANK
получаем, что
DP=AK=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD,
т. е. \frac{PD}{DC}=\frac{1}{2}
.
Через точку D
параллельно PL
проведём прямую, пересекающую ребро SC
в точке E
. По теореме о пропорциональных отрезках \frac{LE}{EC}=\frac{PD}{DC}=\frac{1}{2}
, а так как SL=LC
, то \frac{EL}{LS}=\frac{1}{3}
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках \frac{DQ}{QS}=\frac{EL}{LS}=\frac{1}{3}
.
Пусть объём пирамиды SABCD
равен V
, площадь основания равна S
, высота пирамиды равна h
, площадь треугольника AKN
равна s
, объём треугольной пирамиды LMCP
равен V_{1}
, площадь её основания CMP
равна S_{1}
, а объём пирамиды QDNP
равен v
.
Поскольку KN
— средняя линия треугольника ABD
, получаем, что
S_{\triangle BKM}=S_{\triangle DPN}=S_{\triangle AKN}=s=\frac{1}{4}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{8}S.
Тогда
S_{1}=S_{\triangle CMP}=S-s+2s=S+s=S+\frac{1}{8}S=\frac{9}{8}S,
а так как точка L
— середина наклонной SC
к плоскости основания пирамиды SABCD
, то высота пирамиды LMCP
, проведённая из вершины L
, равна \frac{h}{2}
(см. задачу 9180). Значит,
V_{1}=\frac{1}{3}S_{1}\cdot\frac{h}{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{8}S\cdot\frac{h}{2}=\frac{9}{16}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{9}{16}V.
Точка Q
делит наклонную SD
к плоскости основания ABCD
в отношении \frac{DQ}{QS}=\frac{1}{3}
, поэтому высота треугольной пирамиды QDNP
, проведённая из вершины Q
, равна \frac{h}{4}
. Значит,
v=\frac{1}{3}s\cdot\frac{h}{4}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}S\cdot\frac{h}{4}=\frac{1}{3}Sh\cdot\frac{1}{32}=\frac{1}{32}V.
Аналогично, объём пирамиды RBMK
тоже равен \frac{1}{32}V
. Тогда та часть исходной пирамиды SABCD
, которая содержит точку B
, имеет объём
V_{1}-2v=\frac{9}{16}V-\frac{1}{16}V=\frac{1}{2}V.
Следовательно, секущая плоскость разбивает исходную пирамиду на две равновеликие части.