14408. В конус вписан шар. Отношение объёмов конуса и шара равно двум. Найдите отношение полной поверхности конуса к поверхности шара.
Ответ. 2.
Решение. Пусть радиус основания, высота, образующая, объём и полная поверхность конуса равны R
, h
, l
, V_{1}
и S_{1}
соответственно, а радиус, объём и поверхность шара равны соответственно r
, V_{1}
и S_{1}
.
Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник со сторонами l
, l
, 2R
и высотой h
, в который выписан круг радиуса r
. Полупериметр этого треугольника равен r+l
. Записав двумя способами площадь треугольника, получим равенство (R+l)r=Rh
(см. задачу 452), откуда R+l=\frac{Rh}{r}
.
По условию задачи
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\pi R^{2}h}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}=\frac{R^{2}h}{4r^{3}}=2,
откуда R^{2}h=8r^{3}
. Тогда
\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\pi R(R+l)}{4\pi r^{2}}=\frac{R(R+l)}{4r^{2}}=\frac{R\cdot\frac{Rh}{r}}{4r^{2}}=\frac{R^{2}h}{4r^{3}}=\frac{8r^{3}}{4r^{3}}=2.
Примечание. Аналогично доказывается, что отношение полной поверхности конуса к поверхности вписанного в него шара равно отношению объёмов конуса и шара.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1968, № 5, вариант 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — с. 326, № 5, вариант 3