14409. Правильный тетраэдр помещён внутрь шара радиуса r
так, что три его вершины лежат на поверхности шара, а центр шара находится внутри тетраэдра на расстоянии d
от его четвёртой вершины. Найдите ребро тетраэдра.
Ответ. d\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{r^{2}-\frac{d^{2}}{3}}
.
Решение. Пусть O
— центр шара, вершины A
, B
, C
правильного тетраэдра ABCD
лежат на поверхности шара, а OD=d\lt r
. Точка O
равноудалена от вершин A
, B
и C
, поэтому она лежит на прямой, проходящей через центр H
правильного треугольника ABC
перпендикулярно плоскости ABC
. На этой же прямой лежит и вершина D
тетраэдра, а DH
— высота тетраэдра.
Пусть ребро тетраэдра равно a
. Тогда DH=a\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7040) и HA=\frac{a}{\sqrt{3}}
. По теореме Пифагора
HA^{2}+OH^{2}=OA^{2},~\mbox{или}~\frac{a^{2}}{3}+\left(a\sqrt{\frac{2}{3}}-d\right)^{2}=r^{2}.
После очевидных упрощений получаем квадратное уравнение
a^{2}-2ad\sqrt{\frac{2}{3}}+d^{2}-r^{2}=0.
Поскольку d^{2}-r^{2}\lt0
, у этого уравнения два корня разных знаков. Условию задачи удовлетворяет только положительный, а значит, больший корень. Следовательно,
a=d\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{2}{3}d^{2}-d^{2}+r^{2}}=d\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{r^{2}-\frac{d^{2}}{3}}.