14412. Пусть M
и N
— середины рёбер AA_{1}
и CC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а на продолжении ребра DD_{1}
за точку D
взята такая точка P
, что DP=\frac{1}{2}
. Через точки M
, N
и P
проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения, если ребро куба равно 1.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{8}
.
Решение. Пусть прямая PM
пересекает лежащие в одной с ней плоскости ADD_{1}
прямые AD
и A_{1}D_{1}
в точках E
и G
соответственно, прямая PN
пересекает лежащие в одной с ней плоскости BCC_{1}
прямые CD
и C_{1}D_{1}
в точках F
и H
соответственно, а прямая GH
пересекает лежащие в одной с ней плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
прямые A_{1}B_{1}
и B_{1}C_{1}
в точках K
и L
соответственно. Тогда сечение, о котором говорится в условии, — это шестиугольник KLNFEM
. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009) противоположные стороны этого шестиугольника попарно параллельны, а из равенства соответствующих прямоугольных треугольников следует, что все стороны шестиугольника равны, причём они равны \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Пусть O
— центр куба. Тогда O
— середина отрезка MN
. Поскольку MN=AC\sqrt{2}=\sqrt{2}
, треугольники MOK
, KOL
, LON
, NOF
, FOE
и EOM
равносторонние. Следовательно, этот шестиугольник правильный (все его стороны равны, а все углы равны по 120^{\circ}
). Пусть S
— его площадь. Тогда
S=6S_{\triangle MOK}=6\cdot\frac{MK^{2}\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1968, № 3, вариант 4
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3, с. 351, вариант 4