14414. Радиус основания конуса равен r
, а угол при вершине его осевого сечения равен \alpha
. Два одинаковых шара радиуса R
касаются друг друга, боковой поверхности конуса (извне) и плоскости основания конуса. Найдите площадь треугольника, вершины которого — центры шаров и центр основания конуса.
Ответ. R\left(r+R\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)\right)
.
Решение. Пусть A
— центр основания конуса, B
и C
— центры шаров, DSE
— осевое сечение конуса (равнобедренный треугольник с углом \alpha
при вершине S
), P
— точка касания плоскости основания конуса с первым шаром. Прямые SA
и BP
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же плоскости. Рассмотрим сечение конуса и шара с центром B
этой плоскостью — равнобедренный треугольник DSE
и извне касающийся его боковой стороны SD
круг с центром B
и радиусом R
.
Поскольку DB
— биссектриса угла SDP
, а \angle SDP=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
как внешний угол прямоугольного треугольника SDA
, то
\angle BPD=\frac{1}{2}\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=45^{\circ}+\frac{\alpha}{4},
поэтому
DP=BP\ctg\angle BPD=R\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right),
AP=AD+DP=r+R\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right).
Обозначим, AP=a
. Тогда
AB=\sqrt{AP^{2}+BP^{2}}=\sqrt{a^{2}+R^{2}}.
Пусть Q
— точка касания плоскости основания конуса со вторым шаром. Тогда аналогично изложенному выше
AQ=r+R\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)=AP,
AC=\sqrt{a^{2}+R^{2}}=AB.
Пусть AH
— высота равнобедренного треугольника ABC
. Поскольку APBH
— прямоугольник, то BH=AP=a
. Шары с центрами B
и C
касаются, поэтому расстояние между центрами равно сумме их радиусов (см. задачу 9166), т. е. BC=2R
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=BH\cdot AH=aR=\left(r+R\ctg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)\right)R.