1442. Взаимно перпендикулярные прямые
l
и
m
пересекаются в точке
P
окружности так, что они разбивают окружность на три дуги. Отметим на каждой дуге такую точку, что проведённая через неё касательная к окружности пересекается с прямыми
l
и
m
в точках равноотстоящих от точки касания. Докажите, что три отмеченные точки являются вершинами равностороннего треугольника.
Решение. Пусть
A
и
B
— точки пересечения прямых
l
и
m
с данной окружностью;
K
,
L
,
M
— точки касания указанных касательных с окружностью, лежащие соответственно на меньших дугах
AP
,
BP
и дуге
AB
, не содержащей точки
P
. Пусть также касательная, проходящая через точку
K
, пересекает прямые
l
и
m
соответственно в точках
C
и
D
.
Обозначим угловые величины меньших дуг
PK
и
PL
через
2\alpha
и
2\beta
соответственно. Поскольку
PK
— медиана прямоугольного треугольника
CPD
, проведённая к гипотенузе
CD
, то (см. задачу 1109)
\angle APK=\angle CPK=\frac{1}{2}\angle DKP=\frac{\alpha}{2}

(вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, а угол между касательной и хордой — половиной дуги, заключённой между ними). Значит, величина меньшей дуги
AP
равна
2\alpha+2\cdot\frac{\alpha}{2}=3\alpha
. Аналогично докажем, что величина меньшей дуги
BP
равна
3\beta
. Поэтому
3\alpha+3\beta=180^{\circ}
, откуда
\alpha+\beta=60^{\circ}
. Следовательно, величина меньшей дуги
KL
равна
2\alpha+2\beta=120^{\circ}
.
Пусть меньшая дуга
AM
равна
2\gamma
, а касательная к окружности, проведённая в точке
M
, пересекает прямые
l
и
m
в точках
E
и
F
соответственно. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle PME=\frac{1}{2}\smile MAP=\frac{1}{2}(2\gamma+3\alpha),

а так как
PM
— медиана прямоугольного треугольника
EPF
, проведённая из вершины прямого угла, то
\angle MPF=\frac{1}{2}\angle PME=\frac{1}{4}(2\gamma+3\alpha).

С другой стороны
\angle MPF=90^{\circ}-\angle MPE=90^{\circ}-\gamma
. Из равенства
\frac{1}{4}(2\gamma+3\alpha)=90^{\circ}-\gamma
находим, что
2\gamma+\alpha=120^{\circ}
, т. е.
\smile KAM=120^{\circ}
. Отсюда следует решение задачи.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 177, с. 48
Источник: Турнир городов. — 1994-1995, XVI, осенний тур, младшие классы, основной вариант