14430. Найдите синус угла между образующей и основанием усечённого конуса, полная поверхность которого вдвое больше поверхности вписанного в него шара.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{5}}
.
Решение. Пусть радиусы оснований данного усечённого конуса равны a
и b
(a\gt b
), а радиус вписанного шара равен r
. Тогда полная поверхность усечённого конуса равна \pi(a+b)l+\pi a^{2}+\pi b^{2}
, а поверхность шара равна 4\pi r^{2}
. По условию задачи
\pi(a+b)l+\pi a^{2}+\pi b^{2}=2\cdot4\pi r^{2},~\mbox{или}~(a+b)l+a^{2}+b^{2}=4r^{2}.
Пусть O
и Q
— центры соответственно большего и меньшего оснований данного усечённого конуса, а I
— центр шара. Рассмотрим осевое сечение — равнобедренную трапецию с основаниями AD=2a
, BC=2b
и боковыми сторонами CD=AB=l
, и вписанный в неё круг радиуса r
с центром I
, касающийся оснований в точках O
и Q
, а боковой стороны AB
— в точке P
. Треугольник AIB
— прямоугольный (см. задачу 313), а IP
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
r^{2}=IP^{2}=AP\cdot BP=OA\cdot OB=ab,
а так как
l=AB=AP+BP=OA+QB=a+b,
то полученное в начале решения равенство примет вид
(a+b)^{2}+a^{2}+b^{2}=4ab,~\mbox{или}~a^{2}-3ab+b^{2}=0.
откуда, учитывая, что a\gt b
, получим a=\frac{b(3+\sqrt{5})}{2}
. Тогда
a+b=\frac{b(3+\sqrt{5})}{2}+b=\frac{b(5+\sqrt{5})}{2},
a-b=\frac{b(3+\sqrt{5})}{2}-b=\frac{b(1+\sqrt{5})}{2}.
Обозначим через \alpha
искомый угол, т. е. \angle BAD=\alpha
. Пусть BH
— высота трапеции ABCD
. Тогда
AH=a-b,~AB=a+b,
поэтому
\cos\alpha=\frac{AH}{AB}=\frac{a-b}{a+b}=\frac{1+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Следовательно, \sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}
.