14433. Найдите отношение объёма шарового сегмента к объёму всего шара, если дуга в осевом сечении сегмента соответствует центральному углу, равному \alpha
.
Ответ. \sin^{4}\frac{\alpha}{4}\left(2+\cos\frac{\alpha}{2}\right)
.
Решение. Пусть R
— радиус шара, O
— его центр, V_{1}=\frac{4}{3}\pi R^{3}
— объём шара (см. задачу 9062), h
— высота сегмента, V_{2}=h^{2}\left(R-\frac{1}{3}h\right)
— объём сегмента (см. задачу 9063).
Проведём плоскость через центр шара. Получим круговой сектор AOB
с дугой AB
и углом AOB
, равным \alpha
. Пусть радиус OC
, перпендикулярный хорде AB
, пересекает эту хорду в точке H
. Тогда H
— середина хорды AB
, OH
— биссектриса угла AOB
, а CH=h
— высота шарового сегмента. Из прямоугольного треугольника AHO
находим, что
OH=OA\cos\angle AOH=R\cos\frac{\alpha}{2},
поэтому
h=CH=OC-OH=R-R\cos\frac{\alpha}{2}=R\left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)=2R\sin^{2}\frac{\alpha}{4}.
Значит,
V_{2}=h^{2}\left(R-\frac{1}{3}h\right)=4R^{2}\sin^{4}\frac{\alpha}{4}\left(R-\frac{2}{3}R\left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)\right)=
=\frac{4}{3}R^{3}\sin^{4}\frac{\alpha}{4}\left(2+\cos\frac{\alpha}{2}\right).
Следовательно,
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{\frac{4}{3}R^{3}\sin^{4}\frac{\alpha}{4}\left(2+\cos\frac{\alpha}{2}\right)}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\sin^{4}\frac{\alpha}{4}\left(2+\cos\frac{\alpha}{2}\right).