14434. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол \alpha
. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды.
Ответ. \arctg\frac{\tg\alpha}{3}
.
Решение. Пусть L
— середина бокового ребра SC
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
, H
— центр основания пирамиды, т. е. точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
. Тогда SH
— высота пирамиды, поэтому SCH
— угол бокового ребра с плоскостью основания. По условию \angle SCH=\alpha
.
Пусть секущая плоскость проходит через вершину A
квадрата ABCD
параллельно его диагонали BD
и пересекает высоту DH
пирамиды в точке K
. Плоскость BSD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с этой плоскостью общую точку K
, поэтому секущая плоскость и плоскость BSD
пересекаются по прямой, параллельной BD
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекает боковые рёбра SB
и SD
в точках M
и N
соответственно. Тогда сечение, о котором говорится в условии, — четырёхугольник AMLN
. По теореме о трёх перпендикулярах AK\perp BD
, поэтому KAH
— линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью с плоскостью основания пирамиды. Обозначим \angle KAH=\varphi
.
Поскольку K
— точка пересечения медиан SH
и AL
треугольника ASC
, то KH=\frac{1}{3}SH
. Из прямоугольных треугольников SHC
и AHK
получаем
\tg\alpha=\tg\angle SCH=\frac{SH}{CH},
\tg\varphi=\tg\angle KAH=\frac{KH}{AH}=\frac{\frac{1}{3}SH}{CH}=\frac{1}{3}\cdot\frac{SH}{CH}=\frac{1}{3}\tg\alpha.
Следовательно,
\varphi=\arctg\frac{\tg\alpha}{3}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.220, с. 228