14449. В усечённый конус вписан шар, объём которого в два раза меньше объёма конуса. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
Ответ. \arctg2
.
Решение. Пусть x
— радиус шара, вписанного в конус, основания которого — круги радиусов R
и r
соответственно (R\gt r
), V_{1}
и V_{2}
— объёмы шара и конуса соответственно. Тогда
V_{1}=\frac{4}{3}\pi x^{2},~V_{2}=\frac{1}{3}\pi2x(R^{2}+rR+r^{2}).
По условию V_{2}=2V_{1}
, поэтому
\frac{1}{3}\pi2x(R^{2}+rR+r^{2})=\frac{4}{3}\pi x^{2},~\mbox{или}~R^{2}+rR+r^{2}=4.
Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара — равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD=2R
, BC=2r
, углом \alpha
при вершинах A
и D
, и вписанную в неё окружность радиуса x
с центром O
. Пусть окружность касается оснований AD
и BC
в точках M
и N
соответственно, а боковой стороны AB
— в точке P
. Тогда MN=2x
— высота трапеции, а так как трапеция равнобедренная, то M
и N
— середины ей оснований, поэтому
AP=AM=R,~BP=BN=r.
Поскольку AO
и BO
— биссектрисы углов при вершинах A
и B
трапеции, треугольник AOB
прямоугольный, а отрезок OP
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
x^{2}=OP^{2}=AP\cdot BP=Rr
(см. задачу 314), а из прямоугольных треугольников AMO
и BNO
получаем
R=OM\ctg\angle MAO=x\ctg\frac{\alpha}{2},~r=BN\tg\angle NBO=x\tg\frac{\alpha}{2}.
Тогда
R^{2}+rR+r^{2}=4~\mbox{или}~x^{2}\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}+x^{2}+x^{2}\tg^{2}\frac{\alpha}{2}=4~\Rightarrow~
\Rightarrow~\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}+1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}=4,
откуда, учитывая, что \frac{\alpha}{2}\lt1
, находим, что
\tg^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}=\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{4}.
Значит, \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
. Тогда
\tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{1-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{2-3+\sqrt{5}}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-1}=2.
Следовательно, \alpha=\arctg2
.