14454. Расстояния от центра основания правильной четырёхугольной пирамиды до боковой грани и до бокового ребра соответственно равны a
и b
. Найдите двугранный угол при основании пирамиды.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{2a^{2}-b^{2}}}{b}
.
Решение. Пусть SH
— высота данной четырёхугольной пирамиды SABC
, основание которой — квадрат ABCD
со стороной c
, M
— середина ребра AB
. Тогда SMH
— линейный угол двугранного угла при ребре AB
. Обозначим его через \alpha
.
Опустим перпендикуляры HP
и HQ
на апофему SM
и боковое ребро SA
соответственно. Тогда HQ=b
, а так как HQ
— перпендикуляр к плоскости ASD
, то HP=a
.
Из прямоугольного треугольника MHS
с углом \alpha
при вершине M
получаем
SH=\frac{HP}{\cos\angle SHP}=\frac{a}{\cos\alpha},~\frac{c}{2}=MH=\frac{HP}{\sin\angle SMH}=\frac{a}{\sin\alpha},
Тогда
AH=\frac{c\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{\sin\alpha}.
По теореме Пифагора
SA=\sqrt{SH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{\cos^{2}\alpha}+\frac{2a^{2}}{\sin^{2}\alpha}}=a\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}+\frac{2}{\sin^{2}\alpha}}.
Поскольку AH\cdot SH=SA\cdot HQ
(см. примечание к задаче 1967), то
\frac{a}{\cos\alpha}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{\sin\alpha}=a\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}+\frac{2}{\sin^{2}\alpha}}\cdot b,~\mbox{или}~a\sqrt{2}=b\sqrt{1+\cos^{2}\alpha},
откуда
\cos^{2}\alpha=\frac{2a^{2}-b^{2}}{b^{2}}.
Следовательно,
\alpha=\arccos\frac{\sqrt{2a^{2}-b^{2}}}{b}.