14457. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно a
, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен \alpha
. Найдите полную поверхность пирамиды.
Ответ. 8a^{2}\cos\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть PH
— высота данной четырёхугольной пирамиды PABC
, основание которой — квадрат ABCD
со стороной c
, M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Тогда PMH
— угол между плоскостями APB
и ABC
. По условию \angle PMH=\alpha
.
Рассмотрим сечение пирамиды и вписанного в неё шара радиуса r
с центром O
плоскостью MPN
— равнобедренный треугольник MPN
и вписанный в него круг радиуса r
с центром O
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому \angle OMH=\frac{\alpha}{2}
.
Обозначим через b
сторону квадрата ABCD
. Из прямоугольного треугольника MHS
получаем
r=OH=HM\tg\angle OMH=\frac{b}{2}\tg\alpha.
Тогда
SH=SO+OH=a+\frac{b}{2}\tg\alpha.
С другой стороны
SH=HM\tg\angle PMH=\frac{b}{2}\tg\alpha.
Из равенства
a+\frac{b}{2}\tg\alpha=\frac{b}{2}\tg\alpha
находим, что
b=\frac{2a}{\tg\alpha-\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{2a\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.
Пусть S
— полная поверхность пирамиды. Тогда (см. задачу 8093)
S=S_{ABCD}+\frac{S_{ABCD}}{\cos\alpha}=b^{2}+\frac{b^{2}}{\cos\alpha}=4b^{2}\left(1+\frac{1}{\cos\alpha}\right)=
=\frac{4b^{2}(1+\cos\alpha)}{\cos\alpha}=\frac{8b^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}=\frac{8\cdot\frac{a^{2}\cos^{2}\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\cdot\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}=
=8a^{2}\cos\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}.