14468. Диагонали AB_{1}
и CB_{1}
двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
составляют с диагональю AC
грани ABCD
углы \alpha
и \beta
соответственно. Найдите угол между плоскостью треугольника AB_{1}C
и плоскостью грани ABCD
.
Ответ. \arccos\sqrt{\ctg\alpha\ctg\beta}
.
Решение. Пусть B_{1}H=h
— высота треугольника AB_{1}C
, \gamma
— искомый угол между плоскостями треугольника AB_{1}C
и грани ABCD
. Из прямоугольных треугольников AHB_{1}
и CHB_{1}
получаем
AH=B_{1}H\ctg\angle CAB_{1}=h\ctg\alpha,~CH=B_{1}H\ctg\angle ACB_{1}=h\ctg\beta.
По теореме о трёх перпендикулярах BH=h_{1}
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
h_{1}=BH=\sqrt{AH\cdot CH}=h\sqrt{\ctg\alpha\ctg\beta}
(см. задачу 2728).
Поскольку BHB_{1}
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями треугольника AB_{1}C
и грани ABCD
, то \angle BHB_{1}=\gamma
. Из прямоугольного треугольника HBB_{1}
находим, что
\cos\gamma=\frac{BH}{B_{1}H}=\frac{h_{1}}{h}=\sqrt{\ctg\alpha\ctg\beta}.
Следовательно, \gamma=\arccos\sqrt{\ctg\alpha\ctg\beta}
.