1447. Треугольник ABC
вписан в окружность с центром O
. Точки D
и E
диаметрально противоположны вершинам A
и B
соответственно. Хорда DF
параллельна стороне BC
. Прямая EF
пересекает сторону AC
в точке G
, а сторону BC
— в точке H
. Докажите, что OG\parallel BC
и EG=GH=GC
.
Указание. Используя равенство дуг, заключённых между параллельными хордами, докажите, что CG
— медиана прямоугольного треугольника EHC
.
Решение. Поскольку \angle AFD=\angle BCE=90^{\circ}
, то AF\parallel EC
, поэтому меньшие дуги AE
и FC
равны. Значит,
\angle GEC=\angle FEC=\angle ACE=\angle GCE,
поэтому треугольник EGC
— равнобедренный. Его вершина G
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку EC
, поэтому G
— середина гипотенузы EH
прямоугольного треугольника EHC
. Значит (см. задачу 1109),
EG=GH=GC.
Отрезок OG
— средняя линия треугольника BEH
. Следовательно, OG\parallel BC
.