14471. В усечённом конусе диагонали осевого сечения перпендикулярны и каждая из них равна a
. Угол между образующей и плоскостью основания равен \alpha
. Найдите полную поверхность усечённого конуса.
Ответ. \frac{\pi a^{2}(1+2\sin\alpha)}{4\sin^{2}\alpha}
.
Решение. Пусть осевое сечение данного усечённого конуса — равнобедренная трапеция ABCD
с основаниями AD=2R
и BC=2r
, где R\gt r
— радиусы оснований усечённого конуса, O
— точка пересечения диагоналей AC=BD=a
, BH
высота трапеции, а также AB=CD=l
.
Поскольку трапеция равнобедренная, а её диагонали перпендикулярны, то треугольник AOD
равнобедренный и прямоугольный, поэтому
\angle BDH=\angle ODA=45^{\circ}
Значит (см. задачу 1921),
BH=DH=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(2R+2r)=R+r.
С другой стороны, из прямоугольных треугольников BHD
и BHA
получаем
BH=BD\sin\angle BDH=a\sin45^{\circ}=\frac{a}{\sqrt{2}},~BH=AB\sin\angle BAD=l\sin\alpha,~
откуда
l=\frac{BH}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sqrt{2}\sin\alpha},~R+r=BH=l\sin\alpha.
Пусть M
и N
— середины оснований AD
и BC
. Тогда треугольники AMO
и BNO
также равнобедренные и прямоугольные, поэтому
AO=AM\sqrt{2}=R\sqrt{2},~BO=BN\sqrt{2}=r\sqrt{2}.
Тогда из прямоугольного треугольника AOB
находим, что
l^{2}=AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}=2R^{2}+2r^{2}=2(R^{2}+r^{2}),
откуда
R^{2}+r^{2}=\frac{l^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\alpha}.
Пусть S
— полная поверхность данного усечённого конуса. Тогда
S=\pi(R^{2}+r^{2})+\pi(R+r)l=\pi(R^{2}+r^{2}+(R+r)l)=
=\pi\left(\frac{l^{2}}{2}+l^{2}\sin\alpha\right)=\frac{\pi l^{2}}{2}(1+2\sin\alpha)=
=\pi\cdot\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\alpha}\cdot(1+2\sin\alpha)=\frac{\pi a^{2}(1+2\sin\alpha)}{4\sin^{2}\alpha}.