14475. Угол между плоскостями двух равных прямоугольных треугольников ABC
и ADC
с общей гипотенузой AC
равен \alpha
. Угол между равными катетами AB
и AD
равен \beta
. Найдите угол между катетами BC
и CD
.
Ответ. 2\arcsin\sqrt{\frac{1}{2}(\cos\beta-\cos\alpha)}=2\arcsin\sqrt{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}
.
Решение. Обозначим AB=AD=x
, CB=CD=y
. Пусть BH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины B
прямого угла. Поскольку треугольники ABC
и ADC
равны, то DH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины D
прямого угла, причём
DH=BH=\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
(см. примечание к задаче 1967).
Обозначим через \gamma
искомый угол BCD
. Из равнобедренных треугольников BAD
и BHD
получаем
BD=2AB\sin\frac{\beta}{2}=2x\sin\frac{\beta}{2},~BD=2BH\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{2xy\sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Тогда
2x\sin\frac{\beta}{2}=\frac{2xy\sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},~\mbox{или}~(x^{2}+y^{2})\sin^{2}\frac{\beta}{2}=y^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2},
откуда
y=\frac{x\sin\frac{\beta}{2}}{\sqrt{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-\sin^{2}\frac{\beta}{2}}}.
Значит,
2x\sin\frac{\beta}{2}=BD=2y\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{2x\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\sqrt{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-\sin^{2}\frac{\beta}{2}}},
откуда находим, что
\sin\frac{\gamma}{2}=\sqrt{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-\sin^{2}\frac{\beta}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}-\frac{1-\cos\beta}{2}}=
=\sqrt{\frac{1}{2}(\cos\beta-\cos\alpha)}=2\arcsin\sqrt{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}.