14481. Через вершину основания правильной четырёхугольной пирамиды проведена плоскость, пересекающая противоположное боковое ребро под прямым углом. Площадь сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{33}+1}{8}
.
Решение. Пусть плоскость сечения, проведённого через вершину A
основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
перпендикулярно боковому ребру PC
, пересекает это ребро в точке H
, а высоту PO
пирамиды — в точке K
. Прямая BD
перпендикулярна ребру PC
по теореме о трёх перпендикулярах, поэтому прямая BD
параллельна секущей плоскости. Через прямую BD
проходит плоскость BPD
, имеющая с секущей плоскостью общую точку K
. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной BD
и проходящей через точку K
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекает боковые рёбра PB
и PD
в точках M
и N
соответственно. Тогда сечение, о котором говорится в условии, — четырёхугольник AMHN
с перпендикулярными диагоналями AH
и MN
. Его площадь равна \frac{1}{2}AH\cdot MN
.
Обозначим через a
сторону квадрата ABCD
, а через \alpha
— искомый угол бокового ребра пирамиды с плоскостью основания. Тогда площадь основания равна a^{2}
, \angle ACH=\alpha
, а так как AH\perp PC
, то
AH=AC\sin\angle ACH=a\sqrt{2}\sin\alpha.
По условию
\frac{1}{2}AH\cdot MN=\frac{1}{2}a^{2},~\mbox{или}~\sqrt{2}\sin\alpha\cdot MN=a,
откуда MN=\frac{a}{\sqrt{2}\sin\alpha}
.
С другой стороны, из подобия треугольников MPN
и BPD
получаем
MN=BD\cdot\frac{PK}{PO}=\frac{PO-OK}{PO}=a\sqrt{2}\cdot\frac{OC\tg\alpha-OA\tg(90^{\circ}-\alpha)}{OC\tg\alpha}=
=a\sqrt{2}\cdot\frac{\tg\alpha-\ctg\alpha}{\tg\alpha}=a\sqrt{2}(1-\ctg^{2}\alpha)=a\sqrt{2}\left(1-\left(\frac{1}{\sin^{2}\alpha}-1\right)\right)=
=\frac{a\sqrt{2}(2\sin^{2}\alpha-1)}{\sin^{2}\alpha}.
Из равенства
\frac{a}{\sqrt{2}\sin\alpha}=\frac{a\sqrt{2}(2\sin^{2}\alpha-1)}{\sin^{2}\alpha}
получаем, что
4\sin^{2}\alpha-\sin\alpha-2=0,
откуда находим, что \sin\alpha=\frac{\sqrt{33}+1}{8}
. Следовательно,
\alpha=\arcsin\frac{\sqrt{33}+1}{8}.