14483. В кубе ABCDA'B'C'D'
проведена плоскость через середины рёбер DD'
и D'C'
и вершину A
. Найдите угол между этой плоскостью и гранью ABCD
.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{5}}{2}=\arccos\frac{2}{3}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра DD'
, прямые AM
и A'D'
, лежащие в плоскости грани AA'D'D
, пересекаются в точке K
, а прямые KB'
и D'C'
, лежащие в плоскости грани A'B'C'D'
, пересекаются в точке N
. Из равенства треугольников KD'N
и B'C'N
следует, что N
— середина ребра D'C'
. Следовательно, сечение, о котором говорится в условии задачи, — четырёхугольник AMNB'
. Обозначим через a
ребро куба.
Первый способ. Опустим перпендикуляр A'H
на гипотенузу KB'
прямоугольного треугольника KA'B'
с катетами A'K=A'D'=2a
, A'B'=a
и гипотенузой
KB'=\sqrt{A'K^{2}+A'B'^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{5}.
тогда (см. примечание к задаче 1967)
A'H=\frac{A'K\cdot A'B'}{KB'}=\frac{2a\cdot a}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}.
Ортогональная проекция A'H
наклонной AH
к плоскости грани A'B'C'D'
перпендикулярна прямой KB'
, лежащей в этой плоскости, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах AH\perp KB'
. Значит, AHA'
— линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью и плоскостью грани A'B'C'D'
. Обозначим \angle AHA'=\alpha
.
Поскольку грани ABCD
и A'B'C'D'
параллельны, то искомый угол между плоскостью сечения и плоскостью грани ABCD
равен углу между секущей плоскостью и гранью A'B'C'D'
, т. е. углу AHA'
. Из прямоугольного треугольника AA'H
находим, что
\tg\alpha=\frac{AA'}{A'H}=\frac{a}{\frac{2a}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Следовательно, \alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}
.
Второй способ. Введём A'xyz
прямоугольную систему координат с началом в точке A'
, направив ось A'x
по лучу A'D'
, ось A'y
— по лучу A'B'
, а ось A'z
— по лучу A'A
. Тогда уравнение секущей плоскости имеет вид (уравнение плоскости в отрезках)
\frac{x}{2a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1,~\mbox{или}~x+2y+2z-2a=0.
Пусть \overrightarrow{n}=(1;2;2)
и \overrightarrow{m}=(0;0;1)
— векторы нормали секущей плоскости и плоскости грани ABCD
соответственно, а \alpha
— угол между этими плоскостями. Тогда
\cos\alpha=\left|\frac{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}\right|=\left|\frac{1\cdot0+2\cdot0+2\cdot1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}\cdot1}\right|=\frac{2}{3}.
Следовательно,
\alpha=\arccos\frac{2}{3}=\arctg\frac{\sqrt{5}}{2}.