14486. Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция, диагонали которой перпендикулярны соответствующим боковым сторонам. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен
\alpha
. Отрезок, соединяющий вершину верхнего основания с центром окружности, описанной около нижнего основания, равен
l
и образует с плоскостью основания угол
\beta
. Найдите объём призмы.
Ответ.
l^{3}\sin2\beta\cos\beta\sin\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть равнобедренные трапеции
ABCD
и
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— соответственно нижнее и верхнее основания данной прямой призмы
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Из точек
B
и
C
отрезок
AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
AD
. Следовательно, центр
O
окружности, описанной около трапеции
ABCD
, — середина её большего основания
AD
.
Ортогональные проекции отрезков
A_{1}O
,
B_{1}O
,
C_{1}O
и
D_{1}O
на нижнее основание равны радиусу окружности, описанной около трапеции
ABCD
, поэтому все эти отрезки равны
l
и образуют равные углы
\beta
с плоскостью нижнего основания призмы. Из прямоугольного треугольника
OAA_{1}
находим, что
OA=A_{1}O\cos\angle AOA_{1}=l\cos\beta.

Тогда
AD=2OA=2l\cos\beta.

Пусть
P
— точка пересечения диагоналей трапеции
ABCD
. Поскольку трапеция равнобедренная, треугольник
APD
— равнобедренный, а так как
\angle APB=\alpha
— его внешний угол, то
\angle CAD=\angle PAD=\frac{\alpha}{2}
. Из прямоугольных треугольников
ACD
и
OAA_{1}
находим, что
AC=AD\cos\angle CAD=2l\cos\beta\cos\frac{\alpha}{2},

AA_{1}=OA_{1}\sin\angle AOA_{1}=l\sin\beta.

Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\angle APB=\frac{1}{2}AC^{2}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot4l^{2}\cos^{2}\beta\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha,

V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot AA_{1}=\frac{1}{2}\cdot4l^{2}\cos^{2}\beta\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha\cdot l\sin\beta=

=l^{3}\sin2\beta\cos\beta\sin\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}.

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.433, с. 245