14486. Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция, диагонали которой перпендикулярны соответствующим боковым сторонам. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен \alpha
. Отрезок, соединяющий вершину верхнего основания с центром окружности, описанной около нижнего основания, равен l
и образует с плоскостью основания угол \beta
. Найдите объём призмы.
Ответ. l^{3}\sin2\beta\cos\beta\sin\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть равнобедренные трапеции ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— соответственно нижнее и верхнее основания данной прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Из точек B
и C
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Следовательно, центр O
окружности, описанной около трапеции ABCD
, — середина её большего основания AD
.
Ортогональные проекции отрезков A_{1}O
, B_{1}O
, C_{1}O
и D_{1}O
на нижнее основание равны радиусу окружности, описанной около трапеции ABCD
, поэтому все эти отрезки равны l
и образуют равные углы \beta
с плоскостью нижнего основания призмы. Из прямоугольного треугольника OAA_{1}
находим, что
OA=A_{1}O\cos\angle AOA_{1}=l\cos\beta.
Тогда
AD=2OA=2l\cos\beta.
Пусть P
— точка пересечения диагоналей трапеции ABCD
. Поскольку трапеция равнобедренная, треугольник APD
— равнобедренный, а так как \angle APB=\alpha
— его внешний угол, то \angle CAD=\angle PAD=\frac{\alpha}{2}
. Из прямоугольных треугольников ACD
и OAA_{1}
находим, что
AC=AD\cos\angle CAD=2l\cos\beta\cos\frac{\alpha}{2},
AA_{1}=OA_{1}\sin\angle AOA_{1}=l\sin\beta.
Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\angle APB=\frac{1}{2}AC^{2}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot4l^{2}\cos^{2}\beta\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot AA_{1}=\frac{1}{2}\cdot4l^{2}\cos^{2}\beta\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\alpha\cdot l\sin\beta=
=l^{3}\sin2\beta\cos\beta\sin\alpha\cos^{2}\frac{\alpha}{2}.