14487. Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной a
. Боковое ребро равно b
и образует с пересекающими его сторонам основания углы \alpha
и \beta
. Найдите объём призмы.
Ответ. \frac{ab^{2}}{4}\sqrt{3-4(\cos^{2}\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^{2}\beta)}
.
Решение. Пусть боковое ребро AA_{1}=b
призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, основания которой — равносторонние треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
со стороной a
, образует со сторонами AB
и AC
основания ABC
углы \alpha
и \beta
соответственно, A_{1}H
— высота призмы, а A_{1}M
и A_{1}N
— перпендикуляры к прямым AB
и AC
соответственно.
По теореме о трёх перпендикулярах HM\perp AB
и HN\perp AC
. Обозначим \angle A_{1}AH=\varphi
, \angle HAB=\gamma
. Тогда
\angle HAC=60^{\circ}-\gamma.
По теореме об угле прямой с плоскостью
\cos\alpha=\cos\varphi\cos\gamma,~\cos\beta=\cos\varphi\cos(60^{\circ}-\gamma)
(см. решение задачи 7427). Разделив первое из этих равенств на второе, получим
\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}=\frac{\cos\gamma}{\cos(60^{\circ}-\gamma)}=\frac{\cos\gamma}{\cos60^{\circ}\cos\gamma+\sin60^{\circ}\sin\gamma}=
=\frac{2\cos\gamma}{\cos\gamma+\sqrt{3}\sin\gamma}=\frac{2}{1+\sqrt{3}\tg\gamma},
откуда находим, что \tg\gamma=\frac{2\cos\beta-\cos\alpha}{\sqrt{3}\cos\alpha}
. Из прямоугольных треугольников AMA_{1}
и AMH
получаем
A_{1}M=AA_{1}\sin\alpha,~MH=AM\tg\gamma=b\cos\alpha\tg\gamma=\frac{b\cos\alpha(2\cos\beta-\cos\alpha)}{\sqrt{3}\cos\alpha}=
=\frac{b(2\cos\beta-\cos\alpha)}{\sqrt{3}}.
Значит,
A_{1}H=\sqrt{A_{1}M^{2}-MH^{2}}=\sqrt{b^{2}\sin^{2}\alpha-\frac{b^{2}(2\cos\beta-\cos\alpha)^{2}}{3}}=
=\frac{b}{\sqrt{3}}\sqrt{3\sin^{2}\alpha-(2\cos\beta-\cos\alpha)^{2}}=
=\frac{b}{\sqrt{3}}\sqrt{3-3\cos^{2}\alpha-4\cos^{2}\alpha+4\cos\alpha\cos\beta-\cos^{2}\beta}=
=\frac{b}{\sqrt{3}}\sqrt{3-4(\cos^{2}\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^{2}\beta)}.
Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot A_{1}H=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{b}{\sqrt{3}}\sqrt{3-4(\cos^{2}\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^{2}\beta)}=
=\frac{ab^{2}}{4}\sqrt{3-4(\cos^{2}\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^{2}\beta)}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.435, с. 245