14494. Через середину высоты правильной четырёхугольной пирамиды проведено сечение плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Найдите площадь сечения, если боковое ребро равно b
, а угол между противоположными боковыми рёбрами равен: а) 60^{\circ}
; б) 120^{\circ}
.
Ответ. а) \frac{3b^{2}\sqrt{3}}{32}
; б) \frac{41b^{2}}{96}
.
Решение. Пусть PABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, точка E
— середина высоты PH
, PA=b
.
Пусть прямая, проведённая через точку E
параллельно BD
пересекает рёбра PB
и PC
в точках L
и N
соответственно. Тогда LN
— средняя линия треугольника BPD
, поэтому NL\parallel BD
, а так как по теореме о трёх перпендикулярах PC\perp BD
, то NL\perp PC
. Следовательно, секущая плоскость проходит через прямую NL
.
а) Пусть \angle APC=60^{\circ}
. Тогда равнобедренный треугольник APC
— равносторонний. Значит,
PE=\frac{1}{2}PH=\frac{b\sqrt{3}}{4}.
Опустим перпендикуляр EK
на ребро PC
и продолжим его до пересечения с прямой PA
в точке M
. Прямая KM
параллельна высоте AT
равностороннего треугольника APC
. Если F
— центр этого треугольника, то PF=\frac{b\sqrt{3}}{3}
, поэтому коэффициент подобия прямоугольных треугольников PKM
и PTA
равен
k=\frac{PE}{PF}=\frac{\frac{b\sqrt{3}}{4}}{\frac{b\sqrt{3}}{3}}=\frac{3}{4}.
Значит, точка M
лежит на ребре PA
, а не на его продолжении, и
KM=kAT=\frac{3}{4}\cdot\frac{b\sqrt{3}}{2}=\frac{3b\sqrt{3}}{8}.
Таким образом, сечение, о котором говорится в условии, — четырёхугольник KLMN
с перпендикулярными диагоналями
KM=\frac{3b\sqrt{3}}{8},~LN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}b.
Следовательно (см. задачу 3018),
S_{KLMN}=\frac{1}{2}KM\cdot LN=\frac{1}{2}\cdot\frac{3b\sqrt{3}}{8}\cdot\frac{1}{2}b=\frac{3b^{2}\sqrt{3}}{32}.
б) Пусть \angle APC=120^{\circ}
. Тогда APC
— равнобедренный треугольник с углом 30^{\circ}
при основании AC
, причём
AC=b\sqrt{3},~PH=\frac{b}{2},~PE=EH=\frac{b}{4}.
Опустим перпендикуляр EK
на ребро PC
и продолжим его до пересечения с прямой AC
в точке M
. Тогда
EK=PE\cos\angle KPE=\frac{b}{4}\sin60^{\circ}=\frac{b\sqrt{3}}{8},~MH=EH\tg\angle MEH=\frac{b}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{b\sqrt{3}}{12},
ME=2MH=\frac{b\sqrt{3}}{6}.
Поскольку MH\lt AH
, точка M
лежит на отрезке AH
. Секущая плоскость и плоскость основания пирамиды проходят через параллельные прямые BD
и KL
соответственно и имеют общую точку M
. Значит, они пересекаются по прямой, параллельной BD
. Пусть эта прямая пересекает рёбра AB
и AD
в точках X
и Y
соответственно. Тогда сечение, о котором говорится в условии, — пятиугольник KLXYN
, состоящий из треугольника KLN
с основанием LN=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{3}}{2}
и высотой EK=\frac{b\sqrt{3}}{8}
, а также — из трапеции XLNY
с основаниями
NL=\frac{b\sqrt{3}}{2},~XY=BD\cdot\frac{AM}{AH}=BD\cdot\frac{AH-MH}{AH}=b\sqrt{3}\cdot\frac{\frac{b\sqrt{3}}{2}-\frac{b\sqrt{3}}{12}}{\frac{b\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{6}b\sqrt{3}
и высотой ME=\frac{b\sqrt{3}}{6}
. Следовательно,
S_{KLXYN}=S_{\triangle KLN}+S_{XLNY}=\frac{1}{2}NL\cdot EK+\frac{1}{2}(NL+XY)ME=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{b\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{b\sqrt{3}}{8}+\frac{1}{2}\left(\frac{b\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{6}b\sqrt{3}\right)\cdot\frac{b\sqrt{3}}{6}=\frac{3b^{2}}{8}\left(\frac{1}{4}+\frac{8}{9}\right)=\frac{41b^{2}}{96}.