14495. Угол между плоскостью квадрата
ABCD
и некоторой плоскостью
\Pi
равен
\alpha
, а угол между стороной
AB
и той же плоскостью равен
\beta
. Найдите угол между стороной
AD
и плоскостью
\Pi
.
Ответ.
\arcsin\sqrt{\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta}=\arcsin\sqrt{\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)}
.
Решение. Можно считать, что вершина
A
квадрата
ABCD
лежит на прямой
l
пересечения плоскостей квадрата и
\Pi
.
Обозначим через
\gamma
искомый угол между стороной
AD
и плоскостью
\Pi
. Опустим перпендикуляры
BB'
и
DD'
на плоскость
\Pi
. Тогда
\angle BAB'=\beta
и
\angle DAD'=\gamma
. Предположим, что
DD'\gt BB'
.
На гипотенузе
AD
и катете
AD'
отметим такие точки
K
и
K'
соответственно, что
KK'\parallel DD'\parallel BB'
и
KK'=BB'
. Тогда
BB'K'K
— прямоугольник, поэтому
B'K'\parallel BK
. Плоскости квадрата и
\Pi
проходят через параллельные прямые
BD
и
B'K'
и имеют общую точку
A
, значит, их прямая пересечения
l
параллельна
BD
и
B'D'
. Следовательно, угол между перпендикулярами
AE
и
AE'
, опущенными из точки
A
на прямые
BD
и
B'D'
соответственно, есть линейный угол двугранного угла между рассматриваемыми плоскостями. По условию этот угол равен
\alpha
.
Из прямоугольных треугольников
AB'B
,
AK'K
и
AE'E
получаем
AB=\frac{BB'}{\sin\beta},~AK=\frac{KK'}{\sin\gamma}=\frac{BB'}{\sin\gamma},~AE=\frac{EE'}{\sin\alpha}=\frac{BB'}{\sin\alpha}.

Отрезок
AE
— высота прямоугольного треугольника
BAK
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1967)
BK\cdot AE=AB\cdot AK,~\mbox{или}~\sqrt{AB^{2}+AK^{2}}\cdot AB\cdot AK,

\sqrt{\frac{BB'^{2}}{\sin^{2}\beta}+\frac{BB'^{2}}{\sin^{2}\gamma}}\cdot\frac{BB'}{\sin\alpha}=\frac{BB'}{\sin\beta}\cdot\frac{BB'}{\sin\gamma},

\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=\sin^{2}\alpha,

откуда
\sin\gamma=\sqrt{\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta}=\sqrt{(\sin\alpha-\sin\beta)(\sin\alpha+\sin\beta)}=

=\sqrt{2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}=\sqrt{\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)}.

Следовательно,
\gamma=\arcsin\sqrt{\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta}=\arcsin\sqrt{\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)}.

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.441, с. 246