14495. Угол между плоскостью квадрата ABCD
и некоторой плоскостью \Pi
равен \alpha
, а угол между стороной AB
и той же плоскостью равен \beta
. Найдите угол между стороной AD
и плоскостью \Pi
.
Ответ. \arcsin\sqrt{\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta}=\arcsin\sqrt{\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)}
.
Решение. Можно считать, что вершина A
квадрата ABCD
лежит на прямой l
пересечения плоскостей квадрата и \Pi
.
Обозначим через \gamma
искомый угол между стороной AD
и плоскостью \Pi
. Опустим перпендикуляры BB'
и DD'
на плоскость \Pi
. Тогда \angle BAB'=\beta
и \angle DAD'=\gamma
. Предположим, что DD'\gt BB'
.
На гипотенузе AD
и катете AD'
отметим такие точки K
и K'
соответственно, что KK'\parallel DD'\parallel BB'
и KK'=BB'
. Тогда BB'K'K
— прямоугольник, поэтому B'K'\parallel BK
. Плоскости квадрата и \Pi
проходят через параллельные прямые BD
и B'K'
и имеют общую точку A
, значит, их прямая пересечения l
параллельна BD
и B'D'
. Следовательно, угол между перпендикулярами AE
и AE'
, опущенными из точки A
на прямые BD
и B'D'
соответственно, есть линейный угол двугранного угла между рассматриваемыми плоскостями. По условию этот угол равен \alpha
.
Из прямоугольных треугольников AB'B
, AK'K
и AE'E
получаем
AB=\frac{BB'}{\sin\beta},~AK=\frac{KK'}{\sin\gamma}=\frac{BB'}{\sin\gamma},~AE=\frac{EE'}{\sin\alpha}=\frac{BB'}{\sin\alpha}.
Отрезок AE
— высота прямоугольного треугольника BAK
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1967)
BK\cdot AE=AB\cdot AK,~\mbox{или}~\sqrt{AB^{2}+AK^{2}}\cdot AB\cdot AK,
\sqrt{\frac{BB'^{2}}{\sin^{2}\beta}+\frac{BB'^{2}}{\sin^{2}\gamma}}\cdot\frac{BB'}{\sin\alpha}=\frac{BB'}{\sin\beta}\cdot\frac{BB'}{\sin\gamma},
\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=\sin^{2}\alpha,
откуда
\sin\gamma=\sqrt{\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta}=\sqrt{(\sin\alpha-\sin\beta)(\sin\alpha+\sin\beta)}=
=\sqrt{2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}=\sqrt{\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)}.
Следовательно,
\gamma=\arcsin\sqrt{\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta}=\arcsin\sqrt{\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)}.