14496. Основание пирамиды ABCF
— равнобедренный треугольник ABC
, у которого угол между равными сторонами AB
и AC
равен \alpha
(\alpha\lt90^{\circ}
). В пирамиду вписана треугольная призма AEDA_{1}E_{1}D_{1}
. Точки A_{1}
, E_{1}
, и D_{1}
лежат соответственно на боковых рёбрах AF
, CF
и BF
пирамиды, а сторона ED
основания AED
проходит через центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Найдите отношение объёма призмы к объёму пирамиды.
Ответ. \frac{3\cos\alpha}{8\cos^{6}\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть высота, площадь основания и объём призмы равны h_{1}
, S_{1}
и V_{1}
соответственно, а высота площадь основания и объём пирамиды — h_{2}
, S_{2}
и V_{2}
соответственно.
По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009) D_{1}E_{1}\parallel BC
, а так как DE\parallel D_{1}E_{1}
, то DE\parallel BC
. Значит, треугольник ADE
подобен треугольнику ABC
.
Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, AH
— высота (а также медиана и биссектриса) этого треугольника. Поскольку угол BAC
острый, то
\angle BOC=2\angle BAC=2\alpha,
поэтому \angle BOH=\alpha
. Значит,
OH=OB\cos\angle BOH=OB\cos\alpha=AO\cos\alpha.
Тогда коэффициент k
подобия треугольников ADE
и ABC
равен
k=\frac{AO}{AH}=\frac{AO}{AO+OH}=\frac{1}{1+\frac{OH}{AO}}=\frac{1}{1+\cos\alpha}.
Следовательно,
\frac{S_{1}}{S_{2}}=k^{2}=\frac{1}{(1+\cos\alpha)^{2}}.
Пирамида FA_{1}D_{1}E_{1}
подобна пирамиде FABC
, а треугольник BDD_{1}
— треугольнику BAF
, поэтому
\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{AA_{1}}{AF}=\frac{DD_{1}}{AF}=\frac{BD}{AB}=\frac{OH}{AH}=\frac{OH}{OH+OA}=\frac{OH}{OH+OB}=
=\frac{1}{1+\frac{OB}{OH}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\cos\alpha}}=\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{S_{1}\cdot h_{1}}{\frac{1}{3}S_{2}\cdot h_{2}}=3\cdot\frac{S_{1}}{S_{2}}\cdot\frac{h_{1}}{h_{2}}=3\cdot\frac{1}{(1+\cos\alpha)^{2}}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=
=\frac{3\cos\alpha}{(1+\cos\alpha)^{3}}=\frac{3\cos\alpha}{8\cos^{6}\frac{\alpha}{2}}.