14511. В пространстве даны три параллельные прямые a
, b
и c
. Ребро тетраэдра перемещается по прямой a
, причём длина его остаётся постоянной, а две оставшиеся вершины перемещаются по прямым b
и c
. Докажите, что объём тетраэдра при этом не изменяется.
Решение. Пусть ребро AB
тетраэдра ABCD
перемещается по прямой a
, вершины C
и D
— по прямым b
и c
, а S
— площадь ортогональной проекции тетраэдра ABCD
на плоскость, перпендикулярную данным прямым. Тогда объём тетраэдра равен \frac{1}{3}S\cdot AB
(см. задачу 9415), а значит, не зависит от положения отрезка AB
на прямой a
и вершин C
и D
на прямых b
и c
. Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 3.16, с. 47
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 3.16, с. 36