9415. Докажите, что объём пирамиды равен третьей части произведения её бокового ребра на площадь ортогональной проекции основания пирамиды на плоскость, перпендикулярную этому ребру.
Указание. См. задачу 7310.
Решение. Пусть SA
— боковое ребро произвольной пирамиды с вершиной S
. Рассмотрим призму, основание которой совпадает с основанием пирамиды, а одно из боковых рёбер — с отрезком SA
. Объём этой призмы равен произведению площади её перпендикулярного сечения на боковое ребро SA
(см. задачу 7310), а перпендикулярное сечение призмы и есть ортогональная проекция основания пирамиды на плоскость, перпендикулярную SA
. Осталось заметить, что объём пирамиды в три раза меньше объёма построенной призмы.
Примечание. Из доказанного утверждения также следует, что для любой точки A
основания треугольной пирамиды с вершиной S
объём пирамиды равен третьей части произведения отрезка SA
на площадь ортогональной проекции основания пирамиды на плоскость, перпендикулярную SA
.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — с. 101; № 6.16, с. 116