14512. Параллельные прямые a
, b
, c
и d
пересекают одну плоскость в точках A
, B
, C
и D
соответственно, а вторую — в точках A'
, B'
, C'
и D'
соответственно. Докажите, что объёмы тетраэдров A'BCD
и AB'C'D'
равны.
Решение. Известно, что
V_{A'ABC}=V_{AA'B'C'},~V_{A'ADC}=V_{AA'D'C'},~V_{A'ABD}=V_{AA'B'D'}
(см. задачу 14511).
Если четырёхугольник ABCD
выпуклый, то
V_{A'BCD}=V_{A'ABC}+V_{A'ADC}-V_{A'ABD}=
=V_{AA'B'C'}+V_{AA'D'C'}-V_{AA'B'D'}=V_{AB'C'D'}.
Если диагональ AC
не лежит внутри четырёхугольника ABCD
, то либо
V_{A'BCD}=V_{A'ABC}-V_{A'ABD}-V_{A'ACD}=
=V_{AA'B'C'}-V_{AA'B'D'}-V_{AA'C'D'}=V_{AB'C'D'},
либо
V_{A'BCD}=V_{A'ACD}-V_{A'ABC}-V_{A'ABD}=
=V_{AA'C'D'}-V_{AA'B'C'}-V_{AA'B'D'}=V_{AB'C'D'},
Если диагональ BD
не лежит внутри четырёхугольника ABCD
, то
V_{A'BCD}=V_{A'ABD}-V_{A'BC}-V_{A'ACD}=
=V_{AA'B'D'}-V_{AA'B'C'}-V_{AA'C'D'}=V_{AB'C'D'}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 3.19, с. 47
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 3.19, с. 36