14513. Пусть M
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
. Докажите, что существует четырёхугольник, стороны которого равны параллельны отрезкам, соединяющим точку M
с вершинами тетраэдра. Вычислите объём тетраэдра, задаваемого этим пространственным четырёхугольником, если объём тетраэдра ABCD
равен V
.
Ответ. \frac{1}{4}V
.
Решение. Достроим треугольник AMB
до параллелограмма AMBE
, а четырёхугольную пирамиду AMBEC
с вершиной C
— до параллелепипеда AMBELCFK
с основаниями AMBE
, LCFK
и боковыми рёбрами AL
, MC
, BF
и EK
. Поскольку
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}
(см. примечание к задаче 14341) и
\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CL}+\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{MK},
то \overrightarrow{KM}=\overrightarrow{MD}
. Значит,
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CL}+\overrightarrow{LK}+\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{0}.
Следовательно, стороны пространственного четырёхугольника MCLK
равны и параллельны отрезкам MA
, MB
, MC
и MD
.
Объём тетраэдра ABCM
равен четверти объёма тетраэдра ABCD
, так как у них общее основание, в высота тетраэдра ABCM
, проведённая из вершины M
, в четыре раза меньше высоты тетраэдра ABCD
, проведённой из вершины D
(см. задачу 7110). Кроме того, тетраэдры MCLK
и MABC
равновелики, так как объём каждого из них равен шестой части объёма параллелепипеда AMBELCFK
. Следовательно, искомый объём равен \frac{1}{4}V
.