14530. Докажите, что в произвольном трёхгранном угле биссектрисы двух плоских углов и угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.
Решение. Первый способ. На рёбрах трёхгранного угла с вершиной S
отложим равные отрезки SA
, SB
и SC
. Тогда биссектрисы углов ASB
и BSC
проходят через середины M
и N
оснований соответственно AB
и BC
равнобедренных треугольников ASB
и ASC
. По теореме о средней линии треугольника MN\parallel AC
.
Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника ASC
параллельна основанию AC
(см. задачу 1174). Тогда эта биссектриса параллельна прямой MN
, а значит, лежит с ней в одной плоскости. Следовательно, эта биссектриса лежит в плоскости ASC
, проходящей через биссектрисы углов ASB
и BSC
.
Второй способ. На рёбрах трёхгранного угла отложим от его вершины S
единичные векторы \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
. Векторы \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
параллельны биссектрисам углов ASB
и BSC
, а вектор \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}
— биссектрисе угла, смежного с углом ASC
.
Поскольку
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},
концы этих трёх векторов и точка S
лежат в одной плоскости. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 5.11, с. 83
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 6.15, с. 77