14536. Основание пирамиды PABC
— правильный треугольник ABC
, сторона которого равна 16, боковое ребро PA
— 8\sqrt{3}
. Высота PH
пирамиды делит высоту AM
треугольника ABC
пополам. Через вершину A
проведена плоскость \alpha
, перпендикулярная прямой PM
и пересекающая прямую PM
в точке K
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
делит высоту PH
пирамиды в отношении 2:1
, считая от вершины P
.
б) Найдите расстояние между прямыми PH
и CK
.
Ответ. \frac{8\sqrt{57}}{19}
.
Решение. а) Прямая PM
перпендикулярна плоскости \alpha
, поэтому она перпендикулярна прямой AK
. Высота AM
равностороннего треугольника ABC
равна \frac{16\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}=PA
. Высота AK
равнобедренного треугольника PAM
является его медианой, поэтому точка O
пересечения плоскости \alpha
с высотой PH
(т. е. точка пересечения AK
и PH
) — точка пересечения медиан треугольника PAM
. Следовательно, PO:OH=2:1
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть L
— середина отрезка HM
. Тогда KL
— средняя линия прямоугольного треугольника PHM
, поэтому KL\parallel PH
. Тогда плоскость CKL
параллельна прямой PH
. Значит, расстояние d
между скрещивающимися прямыми PH
и CK
равно расстоянию от любой точки прямой PH
, например, от точки H
, до этой плоскости (см. задачу 7889).
Опустим перпендикуляр HQ
на прямую CL
. Прямая KL
перпендикулярна плоскости ABC
, поэтому HQ\perp KL
. Значит, HQ
— перпендикуляр к плоскости CKL
, а искомое расстояние равно длине отрезка HQ
.
Прямоугольные треугольники LQH
и LMC
подобны, поэтому \frac{HQ}{CM}=\frac{HL}{CL}
. Следовательно,
d=HQ=\frac{HL\cdot CM}{CL}=\frac{\frac{1}{2}HM\cdot CM}{\sqrt{CM^{2}+ML^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot8}{\sqrt{64+12}}=\frac{16\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{8\sqrt{57}}{19}.