7889. Пусть a
и b
— скрещивающиеся прямые, а a'
— прямая, параллельная a
и пересекающая прямую b
. Докажите, что расстояние между прямыми a
и b
равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой a
на плоскость, содержащую прямые b
и a'
.
Решение. Пусть A
— произвольная точка прямой a
, A'
— ортогональная проекция точки A
на плоскость \alpha
, проходящую через пересекающиеся прямые b
и a'
, B
— точка пересечения прямой b
и прямой, проведённой через точку A'
параллельно a'
, C
— точка пересечения прямой a
с прямой, проведённой через точку B
параллельно AA'
. Поскольку расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра (см. задачу 7423), достаточно доказать, что CB
— общий перпендикуляр прямых a
и B
.
Прямая CB
параллельна прямой AA'
, перпендикулярной плоскости \alpha
, поэтому прямая CB
перпендикулярна плоскости \alpha
(см. задачу 7701). Тогда CB\perp b
и CB\perp a'
, а значит, CB\perp a
. Следовательно, CB
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых a
и b
, причём AA'=CB
как противоположные стороны прямоугольника ACBA'
.
Примечание. Аналогично можно доказать, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.