14545. Дана правильная треугольная пирамида. Известно, что центр сферы, описанной около этой пирамиды, равноудалён от боковых рёбер и от плоскости основания пирамиды. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, если ребро её основания равно 12.
Ответ. \sqrt{13}-1
.
Решение. Пусть O
— центр сферы вписанной в данную правильную треугольную пирамиду ABCD
с вершиной D
. Тогда точка O
лежит на высоте DH
пирамиды, а H
— центр равностороннего треугольника ABC
.
Опустим перпендикуляр OP
на боковое ребро DC
. По условию OP=OH
, значит, прямоугольные треугольники CPO
и CHO
равны по общей гипотенузе CO
и катету. Тогда CP=CH=4\sqrt{3}
. Отрезки OC
и OD
равны как радиусы сферы, поэтому высота OP
равнобедренного треугольника COD
является его медианой. Следовательно, DC=2CP=8\sqrt{3}
. В прямоугольном треугольнике CDH
катет CH
вдвое меньше гипотенузы CD
, поэтому \angle DCH=60^{\circ}
. Тогда
DH=CH\tg60^{\circ}=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12.
Пусть M
— середина ребра BC
. Из прямоугольного треугольника CMD
находим, что
DM=\sqrt{DC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}-6^{2}}=2\sqrt{39}.
Пусть r
— радиус сферы, вписанной в данную пирамиду, V
— объём пирамиды, S
— площадь её полной поверхности. Тогда
3V=S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{12^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot12=12^{2}\cdot3\sqrt{3},
S=S_{\triangle ABC}+3S_{\triangle BDC}=\frac{12^{2}\sqrt{3}}{4}+3\cdot6\cdot2\sqrt{39}=36\sqrt{3}(1+\sqrt{13}).
Следовательно (см. задачу 7185),
r=\frac{3V}{S}=\frac{12^2\cdot3\sqrt{3}}{36\sqrt{3}(1+\sqrt{13})}=\sqrt{13}-1.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2020, № 6, вариант 204