14546. В основании четырёхугольной пирамиды ABCDS
лежит параллелограмм ABCD
. На ребре SB
отмечена точка E
, а на ребре SD
— точка F
, причём SE:EB=2:1
, а SF:FD=1:2
. Найдите отношение, в котором плоскость AEF
делит объём пирамиды.
Ответ. 1:6
.
Решение. Плоскости ASD
и BSC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
и имеют общую точку S
, поэтому они пересекаются по прямой l
, проходящей через через точку S
параллельно AD
и BC
. Пусть прямая l
пересекается с прямой AF
в точке P
, а прямая PE
пересекается с прямыми SC
и BC
в точках G
и Q
. Обозначим AD=BC=a
.
Из подобия треугольников PFS
и AFD
получаем, что SP=\frac{a}{2}
, из подобия треугольников BEQ
и SEP
— BQ=\frac{1}{2}SP=\frac{a}{4}
, а из подобия треугольников SGP
и CGQ
—
\frac{SG}{GC}=\frac{SP}{CQ}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{4}+a}=\frac{2}{5}.
Пусть V
— объём данной пирамиды ABCDS
, V_{1}
и V_{2}
— объёмы треугольных пирамид SAEF
и SEFG
с общей вершиной S
. Тогда объём каждой из треугольных пирамид, на которые плоскость BSD
разбивает данную четырёхугольную пирамиду равен \frac{V}{2}
. Значит (см. задачу 7244),
V_{1}=\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{V}{2}=\frac{1}{9}V,~V_{2}=\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{V}{2}=\frac{2}{63}V.
Тогда объём содержащей точку S
части исходной пирамиды равен
V_{1}+V_{2}=\frac{1}{9}V+\frac{2}{63}V=\frac{1}{7}V,
а объём оставшейся части равен \frac{6}{7}V
. Следовательно, искомое отношение равно \frac{1}{6}
.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2020, № 6, вариант 205