14574. Плоскость \Pi
касается сферы с диаметром AB
в точке A
. Из точки C
этой плоскости проведена касательная CD
к сфере. Прямая BD
пересекает плоскость \Pi
в точке F
. Докажите, что CA=CF
.
Решение. Рассмотрим плоскость \Pi'
, проходящую через середину M
отрезка AD
перпендикулярно AD
. Поскольку CA=CD
как отрезки касательных проведённых к сфере из одной точки, точка C
лежит в этой плоскости (см. задачу 8171).
Точка D
лежит на сфере с диаметром AB
, поэтому FD\perp AD
. Середина N
отрезка AF
лежит в плоскости \Pi'
, так как NA=ND
как медиана прямоугольного треугольника ADF
, проведённая из вершины прямого угла ADF
(см. задачу 1109). Следовательно, в плоскости \Pi'
лежит и прямая CN
.
Прямая AD
перпендикулярна плоскости \Pi
, поэтому она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямой CN
. Прямая AF
— ортогональная проекция наклонной AD
на плоскость \Pi
и AD\perp CN
, значит, по теореме о трёх перпендикулярах CN\perp AF
. Тогда медиана CN
треугольника ACF
является его высотой. Следовательно, треугольник ACF
равнобедренный, CA=CF
. Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 4.5, с. 46