14592. В тетраэдре ABCD
двугранные углы при рёбрах AB
и CD
равны; также равны двугранные углы при рёбрах BC
и AD
. Докажите, что AB=CD
и BC=DA
.
Решение. Рассмотрим трёхгранные углы тетраэдра при вершинах A
и C
. Их двугранные углы равны, поэтому равны и соответствующие им плоские углы (см. задачу 7439). Значит, \angle BAC=\angle DCA
и \angle BCA=\angle DAC
. Тогда треугольники ABC
и CDA
равны по общей стороне AC
и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AB=CD
и BC=DA
. Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.26, с. 103
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.32, с. 112